3 .復(fù)合式動(dòng)量系統(tǒng)模型的結(jié)構(gòu)推演及特性分析
3.1 模型一( 動(dòng)量系統(tǒng)初始模型)
首先構(gòu)建一個(gè)簡(jiǎn)單的動(dòng)量系統(tǒng)模型，推導(dǎo)分析其運(yùn)轉(zhuǎn)機(jī)理。
如圖 1 所示，在沒(méi)有任何力場(chǎng)作用( 模擬零重力環(huán)境) 的三維坐標(biāo)系中，質(zhì)量為 mA的物體 A 上有兩處可旋轉(zhuǎn)的軸 a1、a2，且 a1、a2各自連接一個(gè)連桿的中點(diǎn)。這兩個(gè)連桿大小形狀完全相同，質(zhì)量忽略不計(jì)，且對(duì)稱于線段 a1a2的垂直平分面，并以相對(duì)該平面鏡像運(yùn)動(dòng)的形式做勻速半周期旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，即每個(gè)連桿旋轉(zhuǎn) 180°( 該過(guò)程速度較慢) 。每個(gè)連桿的兩端分別固定兩個(gè)物體，物體分別為 B1、B2、1、C2，質(zhì)量分別為 mB1、mB2、mC1、mC2，其中 mB1= mB2=mC1= mC2，物體 B1、B2、C1、C2到各自連桿中心點(diǎn)的距離均相等。該體系中物體 A 為質(zhì)量均勻的長(zhǎng)方體，B1、B2、C1、C2均為球體，且質(zhì)量、密度、體積完全相同。x、y、z 分別為環(huán)境坐標(biāo)系的 3 個(gè)方向，x 軸為水平方向，y 軸為豎直方向，z 軸為垂直紙面方向。
圖 1 中，假設(shè)兩個(gè)對(duì)稱連桿的旋轉(zhuǎn)扭矩為恒量T1、T2，并且 T1、T2大小相等方向相反。由于每個(gè)連桿兩端固定的物體質(zhì)量均相等，且物體到各自連桿中點(diǎn)的距離( 力臂) 均相等，所以可假設(shè)等效到物體B1、B2、C1、C2上的推力均等于 F，物體 B1、B2、C1、C2相對(duì)于物體 A 的移動(dòng)速度均等于 v，進(jìn)而可推斷該動(dòng)量系統(tǒng)在每個(gè)坐標(biāo)軸的動(dòng)量變化。
x 軸: 在圖 1 視野內(nèi)物體 B1、C1相對(duì)于物體 A以速度 Vx向右運(yùn)動(dòng)，物體 B2、C2相對(duì)于物體 A 以速度 Vx向左運(yùn)動(dòng)，由于 B1、B2、C1、C2的質(zhì)量均相等，且 B1與 C1，B2與 C2
均為相對(duì)物體 A 等力臂鏡像運(yùn)動(dòng)，因此 x 軸方向上 B1、C1與 B2、C2的動(dòng)量之和為零。又因?yàn)樵?x 軸方向上等效到物體 B1、B2、C1、C2上的推力均等于 Fx，且推力的作用時(shí)間均相等，所以 x 軸方向上 B1、C1與 B2、C2的沖量之和也為零。根據(jù)動(dòng)量守恒定律，在該動(dòng)量系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，物體 A 在 x 軸方向上保持靜止，沒(méi)有運(yùn)動(dòng)軌跡。
y 軸: 在圖 1 視野內(nèi)，物體 B1、C2相對(duì)于物體 A以速度 Vy向上運(yùn)動(dòng)，物體 B2、C1相對(duì)于物體 A 以速度 Vy向下運(yùn)動(dòng)，由于 B1、B2、C1、C2的質(zhì)量均相等，且 B1與 C1，B2與 C2均為相對(duì)物體 A 等力臂鏡像運(yùn)動(dòng)，因此 y 軸方向上 B1、C2與 B2、C1的動(dòng)量之和為零。又因?yàn)樵?y 軸方向上等效到物體 B1、B2、C1、C2上的推力均等于 Fy，且推力的作用時(shí)間均相等，所以 y 軸方向上 B1、C2與 B2、C1的沖量之和也為零。根據(jù)動(dòng)量守恒定律，在該動(dòng)量系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，物體 A 在 y 軸方向上保持靜止，沒(méi)有運(yùn)動(dòng)軌跡。
z 軸: 由于該動(dòng)量系統(tǒng)內(nèi)的所有物體在 z 軸方向上沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，因此 z 軸方向上所有物體的動(dòng)量之和與沖量之和均為零�？紤]到該動(dòng)量系統(tǒng)中連桿圓周運(yùn)動(dòng)的速度較慢，其角動(dòng)量系統(tǒng)帶來(lái)的微弱回轉(zhuǎn)效應(yīng)可忽略不計(jì)。根據(jù)動(dòng)量守恒定律，在該動(dòng)量系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，物體 A、B1、B2、C1、C2在 z 軸方向上沒(méi)有運(yùn)動(dòng)軌跡。
即該動(dòng)量系統(tǒng)遵循動(dòng)量守恒定律，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中系統(tǒng)的動(dòng)量和與沖量和均為零。其中，物體 A在該過(guò)程中相對(duì)于環(huán)境坐標(biāo)系保持靜止不動(dòng)，沒(méi)有任何方向上的運(yùn)動(dòng)軌跡。
3.2 模型二( 復(fù)合式動(dòng)量系統(tǒng)初始模型)
在上述動(dòng)量系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上，加入多個(gè)角動(dòng)量系統(tǒng)，構(gòu)成復(fù)合式動(dòng)量系統(tǒng)的初始模型，推導(dǎo)分析其運(yùn)轉(zhuǎn)機(jī)理。如圖 2 所示，在模型一的基礎(chǔ)上將物體 B1、B2、C1、C2替換為質(zhì)量、密度、體積、形狀、形式完全相同的陀螺儀，質(zhì)量關(guān)系分別為 mB1= mB2= mC1= mC2。并且陀螺儀 B1、B2、C1、C2在整個(gè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中保持高速旋轉(zhuǎn)狀態(tài)，旋轉(zhuǎn)速度為勻速恒定，且陀螺儀B1、C1的旋轉(zhuǎn)方向相互對(duì)稱。因此由陀螺儀旋轉(zhuǎn)反作用力產(chǎn)生的系統(tǒng)反轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)相互抵消，陀螺儀自身的回轉(zhuǎn)效應(yīng)也一并抵消。此外，當(dāng)連桿旋轉(zhuǎn)到平行于 y 軸位置時(shí)，陀螺儀 B1、C1將處于短時(shí)同向旋轉(zhuǎn)狀態(tài)，其旋轉(zhuǎn)反作用力導(dǎo)致的系統(tǒng)小范圍反轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)這里忽略不計(jì)。即系統(tǒng)在整個(gè)過(guò)程中不因陀螺儀B1、C1旋轉(zhuǎn)而發(fā)生偏轉(zhuǎn)。陀螺儀 B2、C2在整個(gè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中沒(méi)有外在力矩使其轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)，即轉(zhuǎn)子相對(duì)陀螺儀保持靜止?fàn)顟B(tài)。
據(jù)陀螺儀高速旋轉(zhuǎn)時(shí)的定軸性可知，在力臂相等的情況下，改變高速旋轉(zhuǎn)陀螺儀的軸向角度需要克服陀螺儀自身產(chǎn)生的反抗力矩，即科里奧利力的矩。所以，在該模型中，連桿施加在旋轉(zhuǎn)陀螺儀上的力矩要大于施加在不旋轉(zhuǎn)陀螺儀上的力矩。因此等效在陀螺儀 B1、B2、C1、C2上的推力關(guān)系分別為 FB1＞ FB2，F(xiàn)B1= FC1，F(xiàn)B2= FC2。陀螺儀 B1、B2、C1、C2相對(duì)于物體 A 的移動(dòng)速度均等于 V。進(jìn)而可推斷該動(dòng)量系統(tǒng)在每個(gè)坐標(biāo)軸的動(dòng)量變化。
x 軸: 在圖 2 視野內(nèi)陀螺儀 B1、C1相對(duì)于物體 A以速度 Vx向右運(yùn)動(dòng)，陀螺儀 B2、C2相對(duì)于物體 A 以速度 Vx向左運(yùn)動(dòng)，由于 B1、B2、C1、C2的質(zhì)量均相等，且 B1與 C1，B2與 C2均為相對(duì)物體 A 等力臂鏡像運(yùn)動(dòng)。因此 x 軸方向上 B1、C1與 B2、C2的動(dòng)量之和為零。又因?yàn)樵?x 軸方向上 B1、B2、C1、C2上的推力關(guān)系分別為 FB1x＞ FB2x，F(xiàn)C1x＞ FC2x，且推力的作用時(shí)間均相等，所以 x 軸方向上 B1、C1與 B2、C2的沖量之和為兩組不同方向作用力的沖量差。根據(jù)動(dòng)量守恒定律，該沖量差會(huì)以反作用力的形式通過(guò)連桿轉(zhuǎn)化為物體 A 在 x 軸方向上的動(dòng)量，以此達(dá)到平衡。由于 x 軸方向上 B1、C1與 B2、C2的動(dòng)量之和為零，因此物體 A 獲得的動(dòng)量可以等效為整個(gè)系統(tǒng)在x 軸方向上獲得的動(dòng)量，即在 x 軸方向上系統(tǒng)沖量和為零，但系統(tǒng)動(dòng)量和不為零。
上述情況在一般動(dòng)量系統(tǒng)是很少見的，這也是引用復(fù)合式動(dòng)量系統(tǒng)分析的原因。在這種情況下，系統(tǒng)可能會(huì)相對(duì)空間坐標(biāo)系發(fā)生軸向偏轉(zhuǎn)，因此模型二中的 x 軸應(yīng)該為系統(tǒng)自身坐標(biāo)軸，即該軸隨系統(tǒng)自身偏轉(zhuǎn)而偏轉(zhuǎn)。根據(jù)動(dòng)量守恒定律，該過(guò)程中整個(gè)系統(tǒng)將在系統(tǒng)坐標(biāo)系 x 軸方向上獲得一定動(dòng)量，且在該軸方向上系統(tǒng)的沖量和為零，即整個(gè)系統(tǒng)以速度 Vx'沿 x 軸方向向左移動(dòng)。
y 軸: 在圖 2 視野內(nèi)陀螺儀 B1、C2相對(duì)于物體 A以速度 Vy向上運(yùn)動(dòng)，陀螺儀 B2、C1相對(duì)于物體 A 以速度 Vy向下運(yùn)動(dòng)，由于 B1、B2、C1、C2的質(zhì)量均相等，且 B1與 C1，B2與 C2均為相對(duì)物體 A 等力臂鏡像運(yùn)動(dòng)。因此 y 軸方向上 B1、C2與 B2、C1的動(dòng)量之和為零。又因?yàn)樵?y 軸方向上 B1、B2、C1、C2上的推力關(guān)系分別為 FB1y= FC1y，F(xiàn)B2y= FC2y，且推力的作用時(shí)間均相等，所以 y 軸方向上 B1、C2與 B2、C1的沖量之和也為零。根據(jù)動(dòng)量守恒定律，在該動(dòng)量系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，物體 A 在 y 軸方向上保持靜止，沒(méi)有運(yùn)動(dòng)軌跡。
z 軸: 雖然該動(dòng)量系統(tǒng)內(nèi)的所有物體在 z 軸方向上沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，但根據(jù)陀螺儀高速旋轉(zhuǎn)時(shí)的進(jìn)動(dòng)性可知，高速旋轉(zhuǎn)的陀螺儀在 x 軸方向上受外力 F作用時(shí)，會(huì)在其 z 軸方向上產(chǎn)生進(jìn)動(dòng)效果。由于兩個(gè)陀螺儀的旋轉(zhuǎn)方向相互對(duì)稱，所以其進(jìn)動(dòng)力矩的方向是一致的，這里假設(shè)該進(jìn)動(dòng)方向?yàn)槠叫杏?z 軸指向紙面。
由于陀螺儀與連桿之間為剛性連接，因此陀螺儀發(fā)生進(jìn)動(dòng)時(shí)，不會(huì)以連接點(diǎn)為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，而是帶動(dòng)整個(gè)系統(tǒng)相對(duì)于 z 軸做順時(shí)針偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)( 如圖 2所示) 。這里所說(shuō)的 z 軸為環(huán)境坐標(biāo)軸，即該軸不隨系統(tǒng)自身偏轉(zhuǎn)而偏轉(zhuǎn)。這也是之前系統(tǒng)坐標(biāo)系中 x軸方向上系統(tǒng)動(dòng)量不為零的原因，即系統(tǒng)坐標(biāo)系 x軸方向上的系統(tǒng)動(dòng)量是通過(guò)環(huán)境坐標(biāo)系 z 軸方向上系統(tǒng)獲得的偏轉(zhuǎn)動(dòng)量的反作用力生成的，從而達(dá)到系統(tǒng)整體的動(dòng)量平衡。
根據(jù)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，陀螺儀進(jìn)動(dòng)方向變化分析可知，連桿動(dòng)作周期前半程物體 A 及整個(gè)系統(tǒng)相對(duì) z 軸做加速偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，連桿動(dòng)作周期后半程物體A 及整個(gè)系統(tǒng)相對(duì) z 軸做減速偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。這里設(shè)定陀螺儀 B1、C1的進(jìn)動(dòng)力大小為 Fz，系統(tǒng)自身的轉(zhuǎn)速為 Vz'，因此在 z
軸方向上整個(gè)系統(tǒng)的偏轉(zhuǎn)動(dòng)量和不為零。根據(jù)陀螺儀在系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中移動(dòng)位置的調(diào)整可知，陀螺儀在連桿運(yùn)動(dòng)前半周期與后半周期相對(duì) z 軸的進(jìn)動(dòng)力方向完全相反，因此該系統(tǒng)的偏轉(zhuǎn)沖量和為零�？紤]到該動(dòng)量系統(tǒng)中連桿圓周運(yùn)動(dòng)速度較慢，其角動(dòng)量系統(tǒng)帶來(lái)的微弱回轉(zhuǎn)效應(yīng)可忽略不計(jì)。根據(jù)動(dòng)量守恒定律，在該動(dòng)量系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，系統(tǒng)整體在動(dòng)作周期前半程相對(duì) z 軸做順時(shí)針加速偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，在動(dòng)作周期后半程相對(duì) z 軸做順時(shí)針減速偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，在不計(jì)動(dòng)量損耗的前提下，系統(tǒng)最終偏轉(zhuǎn)速度將降為 0，整體停止轉(zhuǎn)動(dòng)。
即該動(dòng)量系統(tǒng)遵循動(dòng)量守恒定律，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中系統(tǒng)相對(duì)于環(huán)境坐標(biāo)系 z 軸以速度 Vz'做變速偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，速度范圍為 0≤Vz'≤Fz* t /2* ( mA+ mB1+ mB2+ mC1+ mC2) ; 此外，該系統(tǒng)沿自身坐標(biāo)系 x 軸方向向左移動(dòng)，移動(dòng)中產(chǎn)生的動(dòng)量值為 2* ( FB1x－FB2x) * t，沖量值為 0。系統(tǒng)最終沿該方向以恒定速度 Vx'運(yùn)動(dòng)，速度值為: ［2* ( FB1x－ FB2x) * t］/( mA+mB1+ mB2+ mC1+ mC2) 。整個(gè)系統(tǒng)相對(duì)環(huán)境坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)情況可參考圖 2 中定位線的相對(duì)位置變化及箭頭標(biāo)注方向。
|
